문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 72의 법칙 (문단 편집) == 상세 == 가장 오래된 기록은 이탈리아의 수학자이자 프란스시스코 수사였던 [[파치올리|루카 파치올리]](Luca Pacioli,1447-1517)[* [[레오나르도 다 빈치]]에게 수학을 가르치고 같이 논문도 썼다. 서양에서 회계와 부기의 아버지(father of accounting and bookkeeping)라 불린다고]가 저술한 수학책으로 알려져 있다. 다음과 같이 적혀있다. >연이율이 주어져 있는 상태에서 현재의 자본금이 두 배가 되려면 몇 년이 걸릴까를 알고싶을때는 72를 마음 속에 법칙으로 지니고 있도록 해라. 연이율로 72를 나누어 나온 숫자가 자본금이 두 배가 되는데 필요한 햇수이다. 예를 들면 연이율이 6퍼센트이면, 72를 6으로 나누면 12가 나온다. 12년 뒤에 그 자본금은 두 배가 된다.-Summa de arithmetica (Venice, 1494.)- 하지만 파치올리는 그 법칙이 어떻게 유도되었는지 등의 추가언급이 없다. 그래서 72의 법칙은 파치올리 이전에 발견되었던 것으로 여겨진다. 증명은 아래와 같다. 이자율(%)을 [math(100r)], 2배가 되는 기간을 [math(t)]라고 하자. [math(2 = (1 + r)^{t})] 양변에 [[자연로그]]를 취하면 [math(\ln 2 = t \times \ln (1 + r))] [math(\displaystyle \frac{\ln 2}{t} = \ln (1 + r))] 우변을 테일러 전개하면 [math(\displaystyle \ln (1 + r) = r - \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{3} -\cdots=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-r)^k}{k})] [* 이는 자연로그 함수에 대한 [[테일러 전개]]이다. 자연로그 함수는 테일러 전개하여 수렴하므로 근사에 써먹을 수 있다.] 이므로, [math(r)]이 0에 가까우면 우변 [math(\ln (1 + r))]은 [math(r)]에 근사하게 된다. 다시말해 [math(\displaystyle \frac{\ln 2}{t})]가 [math(r)]에 근사한다. ([math(\ln2=0.693\cdots)]이므로 [math(\displaystyle\frac{69}{t})]가 이자율([math(100r)])에 근사) qed 즉 t×r≒ln2≒0.693이므로 69.3의 법칙, 또는 69.3의 근사인 70의 법칙, 또는 더 많은 자연수로 떨어져 실생활 계산에 편한 72의 법칙을 만든 것이다. 보통 이자율이 매우 작으면 69가 잘 맞고, 보통 70, 커질 수록 72에 맞게 되지만 '''별 의미는 없다.''' 어차피 이 식의 목적은 '''대강''' 언제쯤 가치가 2배가 되는지를 어림짐작하는 것이기 때문이다. 따라서 어느 정도의 오차는 허용되며, 정확한 값을 알고 싶다면 계산기 잠깐 두들겨서 쉽게 구할 수 있다. 오히려 69보다는 70이나 72가 잘 나누어떨어지기 때문에 그 쪽이 많이 쓰이는 듯 하다. 이 경우 ln (1 + r)을 3차까지 테일러 근사해서 공식을 조정해주면 상당히 정확해진다. t = (69.3/R) * {(600 + 4R)/(600 + R)} (단, R = 100r) 100% 이자율하에서 원금이 2배되는데 0.99년, 거의 1년이라는 정답이 나온다. --Much Ado About Nothing-- 참고로, 주요 연이자율 별 2배가 되는 기간(72로 계산 - 실제 기간) 1% : 72년 - 69.661년 2% : 36년 - 35.003년 3% : 24년 - 23.450년 4% : 18년 - 17.673년 6% : 12년 - 11.896년 8% : 9년 - 9.006년 9% : 8년 - 8.043년 10% : 7.2년 - 7.273년 12% : 6년 - 6.116년 18% : 4년 - 4.188년 24% : 3년 - 3.222년 36% : 2년 - 2.254년 [[분류:경제학]]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기